Matemáticas Discretas Problema Nº 13.

Producido por:

Nayribeth Olmos <nayth_olmos@hotmail.com>

Notación terminología:

Este problema esta planteado completamente en español, cuando se dice de buscar una función generatriz asociada a la sucesión, se trata de buscar es una formula general para la sucesión.

Antecedentes:

Un problema similar, pero no idéntico, aparece en el libro del Profesor José Rodríguez “El arte de contar”.Capitulo III. Universidad de los Andes.

Problema Nª13.

Considere la sucesión {a_i} la cual satisface la relacion de recurrencia;

a_n + a_n-1 +a_n-2 +a_n-3 = 0

Siendo a=0 ,a=-2, a=2 .Encuentre la función generatriz asociada a la sucesión {a_i}, y luego determine una formula general para los términos de esta sucesión.

Respuesta:

Para obtener la función general aplicamos los mismo cambios que con las formula de fibonacci;

F_n = F_n-1+ F_n-2 Cambio de variable

F_n por bxⁿ

En este caso el cambio de variable seria:

a_n por bxⁿ

a_n + a_n-1 +a_n-2 +a_n-3 =0

a_n = - a_n-1 – a_n-2 - a_n-3

bxⁿ = - bx^n-1 - bx^n-2 - bx^n-3 Dividimos bx^n-3

Al dividir entre bx^n-3 ambos miembros entonces quedaría:

x³ = -x² – x –1

Las raices son : x₁ =0 , x² = -1 x = x₂ = i ; x₃ = i

a₀ = -b₁ x₁ ^o -b₂ x₂⁰ – b₃x₃⁰ -b₁ –b₂-b₃ = 0

a₁ = -b₁x₁ ¹ –b₂x₂¹ – b₃x₃¹ -b₁x₁ –b₂x₂ – b₃x₃ = -2

a₂ = - b₁x₁² – b₂x₂² –b₃x₃² -b₁x₁² –b₂x₂² – b₃x₃ = 2

Al resolver la ecuación obtenemos los valores b₁= -2 ; b₂ = (i+1)/i;

b₃ = (1-i)/i

Entonces la función generatriz es :

a_n = -((i+1)/i)*(i)ⁿ – ((1-i)/i)*(-i))ⁿ

Moraleja :

Es útil ser intuitivo a la hora de obtener funciones generatricez, otra herramienta muy importante es la inducción matemática para la solución de formulas generales